導言

光作為一種重要的信息載體和能量形式，其特性與行為的研究一直是光學領域的核心內容。渦旋光是一種具有獨特螺旋相位結構和軌道角動量的特殊光束，與傳統的平面波或高斯光束不同，其波前呈現螺旋狀，相位分布圍繞光束中心具有2π的整數倍變化，這使得每個光子攜帶了與拓撲電荷數相關的軌道角動量。這種獨特的性質賦予了渦旋光在眾多領域（光通信、光學成像、光學操縱、量子光學、激光加工、光存儲等領域）潛在的應用價值。研究渦旋光的衍射特性，不僅有助于深入理解渦旋光的基本物理性質，揭示其在傳播過程中的行為規律，還能為上述應用提供堅實的理論基礎，推動相關技術的發展和創新。通過對渦旋光衍射的研究，可以優化渦旋光的產生、傳輸和檢測方法，提高其在實際應用中的性能和效率，從而為解決實際問題提供更有效的光學工具和技術方案。

摘要

本文就基于衍射圖樣的拓撲電荷數測量方法進行了理論分析、數值模擬和實驗驗證。在理論分析方面，基于惠更斯-菲涅爾原理和標量衍射理論，建立渦旋光衍射的數學模型，推導渦旋光在不同衍射條件下的光場分布表達式，結合數值模擬，利用 MATLAB軟件平臺，編寫相應的程序對渦旋光衍射過程進行模擬仿真。通過數值模擬，可以直觀地展示渦旋光在不同參數條件下的衍射光場分布情況，深入分析各種因素對衍射特性的影響，為實驗研究提供指導和補充。在實驗研究方面，搭建渦旋光產生與衍射實驗平臺，利用空間光調制器、螺旋相位板等光學元件產生不同拓撲電荷數的渦旋光，并通過設置不同的衍射障礙物或孔徑，觀察和記錄渦旋光的衍射圖樣。采用 CCD 相機、光電探測器等設備對衍射光場進行測量和分析，獲取實驗數據，驗證理論分析和數值仿真的正確性。

渦旋光衍射理論分析

基于惠更斯 - 菲涅爾原理和標量衍射理論，可對渦旋光的衍射特性進行深入的理論分析。假設渦旋光的初始電場分布為[數學公式]，在柱坐標系下，其表達式可寫為：

其中，是振幅函數，描述了渦旋光在徑向的振幅分布，l為拓撲荷數，是方位角。

當渦旋光遇到衍射障礙物或通過衍射孔徑時，根據惠更斯 - 菲涅爾原理，波面上的每一點都可看作是新的子波源，這些子波源發出的子波在空間中相互干涉、疊加，從而形成衍射光場。對于菲涅爾衍射，在距離衍射屏z處的光場分布可通過菲涅爾衍射積分公式計算：

其中， 為波數，是光的波長，是衍射屏上的坐標，是觀察平面上的坐標。

在夫瑯禾費衍射條件下，當接收屏和衍射屏的距離足夠遠時，衍射光場的分布可通過夫瑯和費衍射衍射積分公式簡化計算：

在衍射過程中，渦旋光的相位和強度會發生顯著變化。由于渦旋光本身具有螺旋相位結構，在衍射時，這種相位結構會與衍射引起的相位變化相互作用。對于相位變化，衍射會導致相位的重新分布，使得渦旋光的螺旋相位在空間中的分布發生改變，從而影響其波前的形狀和傳播方向。而在強度方面，衍射會使渦旋光的光強分布發生變化，原本的環形光強分布在衍射后可能會出現旁瓣、暗紋等復雜結構，光強的最大值和最小值的位置也會發生改變。通過對上述衍射積分公式的分析和計算，可以深入了解渦旋光在衍射過程中相位和強度的具體變化規律，為進一步研究渦旋光的衍射特性提供理論基礎。

渦旋光經過不同光闌的衍射計算模型

假設渦旋光經過一個特殊形狀的光闌（三角形、星形、方形、太極形等），光闌放置在處為初始光場平面，假設光闌可用數學形式表示，則此時渦旋光經過此光闌后在觀察面z處的光場分布可以用衍射積分公式進行計算：

衍射孔徑的形狀對渦旋光的衍射圖樣有著顯著影響。不同形狀的衍射孔徑會導致不同的衍射圖樣特征。

數值仿真理論基礎

理論上可以用衍射積分公式進行直接積分或者進行直接的數值計算，但是在實際數值仿真計算中，我們可以將衍射積分公式進行改寫，其在直角坐標系下可以寫為

將上式中積分內的指數項展開，得

定義脈沖響應：

令初始光場為,則觀察面z處的光場復振幅分布為

式中，* 表示卷積。由卷積定理可得

對脈沖響應進行傅里葉變換，得到菲涅爾傳遞函數如下

因此，觀察面z處的光場可改寫為

由此得到了新的衍射計算形式，通過計算初始平面光場的頻譜，而后乘以傳遞函數得到觀察面的頻譜，最后進行傅里葉逆變換得到觀察面的光場。而上述計算形式結合MATLAB軟件平臺中的fft2和ifft2函數可以非常快速的進行數值仿真計算。

渦旋光束經過不同光闌后的數值仿真結果

利用寫好的MATLAB代碼我們仿真了四種異形光闌，其形狀分別為正三角形、星形、方形和太極形，其示意圖如下圖1所示。

圖1：四種異形光闌示意圖。

利用MATLAB得到高斯渦旋光束，然后將其經過利用不同分布函數產生相應的異形光闌，利用衍射數值計算算法，得到渦旋光束經過不同光闌后在觀察平面的光強分布圖。

圖2：渦旋光經過不同光闌后的衍射圖樣。實際對應的物理尺寸為1cm*1cm。

如圖2，下面一行分別示意等邊三角形、五角星、矩形和太極孔光闌。上面一行則是渦旋光經過光闌后對應的衍射圖案。值得注意的是，三角孔衍射的結果能夠被應用于渦旋光的檢測，不僅可以檢測出渦旋光的拓撲荷，并且其朝向還可以很方便地得到渦旋光拓撲荷的正負。

圖3：不同拓撲荷渦旋光經過三角形光闌后的衍射圖樣。

如圖3所示，當渦旋光經過三角形光闌衍射后，一條邊上的散斑數目恰好等于拓撲荷數加1，并且三角形衍射圖樣的朝向與拓撲荷的正負負號有關。同樣的我們可以分別計算出渦旋光經過星形光闌、方形光闌以及太極光闌之后的衍射圖樣，分別如圖4、圖5、圖6所示。

圖4：不同拓撲荷渦旋光經過星形光闌后的衍射圖樣。

圖5：不同拓撲荷渦旋光經過方形光闌后的衍射圖樣。

圖6：不同拓撲荷渦旋光經過太極光闌后的衍射圖樣。

可以看到，渦旋光束經過不同的異形光闌后其衍射圖樣都各不相同，其衍射圖樣也能與拓撲荷數及其符號相關聯，具體的對應規律沒有如三角形光闌的明顯，但是通過圖像視覺的方法可以得到對應的關系。

我們利用衍射計算程序可以計算出在不同平面的衍射圖樣，從而揭示出這些衍射圖樣的形成過程，圖7演示的是渦旋光經過三角形光闌后的衍射圖樣的形成過程。

圖7：渦旋光經過三角形光闌后的孔衍射圖樣的演化過程

改變衍射屏的形狀，我們同樣可以模擬其他形狀孔徑的衍射圖樣。圖8展示了渦旋光經過星形光闌衍射圖樣的形成過程。

圖8：渦旋光經過星形光闌后的孔衍射圖樣的演化過程

繼續改變衍射屏的形狀，可以模擬渦旋光經過方形光闌的衍射圖樣，圖9展示了渦旋光經過方形孔徑衍射圖樣的形成過程。

圖9：渦旋光經過方形光闌后的孔衍射圖樣的形成過程

同樣的，圖10展示了渦旋光經過太極光闌孔徑衍射圖樣的演化過程。

圖10：渦旋光經過太極光闌后的孔衍射圖樣的演化過程

渦旋光束經過不同光闌后的實驗實現和結果展示

上面展示的都是理論仿真得到的數據，那么在實驗中真實的情況又是如何呢？我們將結合UPOLabs的液晶空間光調制器HDSLM80R Plus來開展實驗驗證。

由于HDSLM80R Plus是相位型空間光調制器（SLM），首先我們需要設法利用相位型器件實現振幅型器件的等效方法，閃耀光柵法是一種十分有效的方案，通過將異形光闌數學表達式與閃耀光柵進行相乘操作，可以很容易地實現相位型器件轉換為振幅型器件使用。同時我們將渦旋相位也結合在其中，這樣渦旋光的產生就不需要引入額外的調制器件。實驗光路示意圖如圖11所示。具體操作后加載到SLM的圖片如圖12-圖15所示。

圖11 實驗光路示意圖。BA：光斑分析儀；PC：筆記本電腦。

圖12：渦旋光三角形光闌衍射SLM加載圖像示意圖

（渦旋光拓撲荷為4的圖例）

圖13：渦旋光星形光闌衍射SLM加載圖像示意圖

（渦旋光拓撲荷為4的圖例）

圖14：渦旋光方形光闌衍射SLM加載圖像示意圖

（渦旋光拓撲荷為4的圖例）

圖15：渦旋太極形光闌衍射SLM加載圖像示意圖

（渦旋光拓撲荷為4的圖例）

具體的衍射實驗結果如圖16-圖19所示，圖中的實際物理尺寸均為1cm*1cm。可以發現實驗結果通理論仿真結果十分吻合。這表明理論仿真結合SLM實驗研究渦旋光束的衍射特性是一套切實可行的研究方法，相信該研究范式在其他光場傳輸研究中也能發揮其效果。

圖16：不同拓撲荷渦旋光經過三角形光闌后的衍射圖樣實驗結果。

圖17：不同拓撲荷渦旋光經過星形光闌后的衍射圖樣實驗結果。

圖18：不同拓撲荷渦旋光經過方形光闌后的衍射圖樣實驗結果。

圖19：不同拓撲荷渦旋光經過太極光闌后的衍射圖樣。

參考文獻

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